河流岸边侵蚀按比例缩小的版本，甚至像大峡谷的迷你版本，并为此而感到惊讶时，你并非沉溺于幻想之中，它事实上的确就是如此。

    利用不同精度测量英国海岸线的长度这实在令人惊叹。我们再一次发现，当用粗粒度比例滤镜观察时，在自然界令人畏惧的复杂性的背后，潜藏着惊人的简单性、规律性和一致性。

    尽管理查森在研究边界线和海岸线时发现了这一奇特的、革命性的非直观行为，并理解它们的来源，但他并没有完全意识到其非凡的普遍性和深远的影响力。

    这一更深刻的洞见落在了曼德尔布罗的身上。理查森的发现几乎为整个科学界所忽视。

    这并不太令人感到惊讶，因为它是在一本相对晦涩的期刊上发表的，而且掩藏在了他对于战争起因的实证研究之中。

    他发表于1961年的论文也采用了非常晦涩的题目：“关于接近的问题：致命争吵统计数据附录”。

    即便在行家看来，这个题目也未能透露出文章的内容是什么。谁又能知道这即将宣告具有重大意义的范式转换呢？

    1967年，曼德尔布罗在著名的期刊《科学》上发表了一篇论文，题目清晰易懂：“英国海岸线有多长？数据自相似性和分形维数”。

    通过发展理查森的发现，并概括其观点，理查森的工作得见天日。后来被称为“分形”的褶皱是由理查森的对数表中的直线的斜率决定的，斜率越大，曲线的褶皱越多（自然界中同一事物基本存在这样的规律，不只是每个国家的边境曲折程度，还有冰晶、雪花、河流、山脉、生物等，除非是人为制造的东西会不遵循这个规律）。

    这些斜率是长度与精度相关的幂指数，类似代谢率与生物体体重相关的指数3/4。

    对像圆这样十分平坦的传统曲线而言，斜率或指数为零，因为它的长度不会随着精度的提高而改变，而是会汇聚到一个固定的数值，正如起居室的例子一样。

    然而，对崎岖不平、有褶皱的海岸线而言，斜率并不为零。

    例如，对英国西海岸线而言，斜率为0.25；对挪威那样有着峡湾和多层次海湾的褶皱更多的海岸线而言，斜率为极大的0.52。

    另外，理查森发现，南非海岸线与其他任何海岸线都不相同，斜率只有0.02，十分接坦的曲线。至于西班牙和葡萄牙之间的边界线，之前出入很大的数据曾激发了理查森的兴趣，他发现其斜率为0.18，海岸线和边界线的分形利用不同精度测量海岸线的长度（例子中的英国）。

    随着精度的变化，长度按照图中的幂律系统性增长。斜线给出了海岸线的分形维数，弯曲越多，斜线越陡峭。

    为了理解这些数字的含义，想象一下，将测量的精度提高至原来的两倍，英国西海岸线的测量长度将会增加约25%，挪威海岸线的测量长度将会增加约50%。这是一个很大的差别，此前则完全被忽略，直至理查森于70年前偶然发现。

    因此，若想要让测量的过程有意义，就必须知道精度很重要，它是整个过程中必不可少的一部分。要点很明确。

    通常而言，如果不阐明用于测量的尺子的精度，引用测量数值就是毫无意义的。

    从原则上来说，如果不给出测量的单位，只是说长度为543、27或1.289176，是毫无意义的。正如我们要知
    （本章未完，请翻页）